Phương pháp thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4

Đồ thị hàm số bậc 4 là gì?

Đồ thị hàm số bậc 4 là một dạng đồ thị hàm số phổ biến trong chương trình sách giáo khoa Giải tích lớp 12. Đồ thị này có thể có nhiều hình dạng khác nhau, tùy thuộc vào giá trị của các hệ số trong hàm số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các tính chất của đồ thị hàm số này, cũng như cách vẽ đồ thị của hàm số này.

Đồ thị hàm số bậc 4
Đồ thị hàm số bậc 4

Đồ thị hàm số bậc 4 là gì?

Đồ thị hàm số bậc 4 còn được gọi là là hàm trùng phương là một đường cong có dạng giống như đường cong parabol, nhưng có thể có ba điểm cực trị. Đồ thị hàm số trùng phương có thể là:

  • Đường cong mở: Đồ thị có dạng đường cong mở nếu hệ số a của hàm số có dấu dương. Đường cong mở có thể có 3 điểm cực trị, hoặc không có điểm cực trị nào.
  • Đường cong đóng: Đồ thị có dạng đường cong đóng nếu hệ số a của hàm số có dấu âm. Đường cong đóng có thể có 3 điểm cực trị, hoặc 1 điểm cực trị duy nhất.

Tùy thuộc vào giá trị của các hệ số a, b, c của hàm số bậc 4, đồ thị của hàm số có thể có các dạng khác nhau.

Đồ thị hàm số bậc 4 là gì?
Đồ thị hàm số bậc 4 là gì?

Đồ thị hàm số bậc 4 có dạng như thế nào?

Hàm số bậc 4 trùng phương với dạng chung là:

y = ax^4 + bx^2 + c

Với a, b, và c là số thực và a ≠ 0. Quá trình phân tích và vẽ đồ thị có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Hình dạng đồ thị

Đồ thị hàm số bậc 4 có hình dạng giống parabol nhưng đối xứng qua gốc tọa độ (O).

Đối xứng qua gốc tọa độ nghĩa là f(-x) = f(x).

Bước 2: Số cực trị và vị trí

Hàm số có thể có 0, 1 hoặc 2 cực trị.

Tìm điểm uốn (vertex) bằng cách giải phương trình f'(x) = 0, trong đó f'(x) là đạo hàm của f(x).

  • Nếu f(x) ↑ khi x < điểm uốn và ↓ khi x > điểm uốn, điểm uốn đó = một cực trị.
  • Nếu f(x) không thỏa mãn điều kiện trên, thì không có cực trị.

Bước 3: Vẽ đồ thị

Sử dụng thông tin về hình dạng, số cực trị và vị trí của chúng để vẽ đồ thị hàm số.

Trong quá trình vẽ đồ thị, chú ý đến sự đối xứng và các điểm uốn để có một hình dạng đồ thị chính xác.

Lưu ý: Trong quá trình giải phương trình trùng phương, có thể sử dụng thay đổi biến số (ví dụ: z = x^2) để quy về phương trình bậc 2 và dễ dàng giải quyết. Sau đó, chúng ta chuyển ngược lại để có nghiệm cho x và vẽ đồ thị tương ứng.

Đồ thị hàm số bậc 4 có dạng như thế nào?
Đồ thị hàm số bậc 4 có dạng như thế nào?

Cách tìm min, max của đồ thị hàm số bậc 4

Để xác định cực tiểu và cực đại của hàm số trùng phương, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm

Bắt đầu bằng việc tính đạo hàm của hàm số trùng phương y = ax^4 + bx^2 + c.

Đạo hàm đầu tiên của hàm số là: y’ = 4ax^3 + 2bx.

Bước 2: Các điểm cực trị

Đặt đạo hàm = 0 để ⇒ các điểm cực trị. Giải phương trình 4ax^3 + 2bx = 0 để xác định giá trị của x tương ứng với các điểm cực trị.

Bước 3: Kiểm tra tính chất điểm cực trị

Tính đạo hàm hai lần của hàm số: y” = 12ax^2 + 2b.

  • Nếu y” > 0 tại một điểm cực trị, thì điểm đó là cực tiểu của hàm số.
  • Nếu y” < 0 tại một điểm cực trị, thì điểm đó là cực đại của hàm số.

Bước 4: Vẽ đồ thị

Sử dụng thông tin về các điểm cực trị và tính chất của chúng để vẽ đồ thị của hàm số trùng phương.

Tóm lại, quá trình xác định cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số bậc 4 đòi hỏi việc tính đạo hàm, giải phương trình để xác định điểm cực trị, kiểm tra tính chất của các điểm cực trị bằng đạo hàm hai lần, và vẽ đồ thị để hình dung hình dạng của hàm số.

Cách tìm min, max của đồ thị hàm số bậc 4
Cách tìm min, max của đồ thị hàm số bậc 4

Hướng dẫn phương pháp thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4

Tập xác định

Tập xác định của hàm trùng phương y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) là: D = R

Sự biến thiên

Thứ 1: Xét chiều biến thiên hàm số

Đạo hàm y’ = 4ax^3 + 2bx

y’ = 0 ⇔ 4ax^3 + 2bx = 0 ⇔ 2x(2ax^2 + b) = 0

Ta có: ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 ⇔ …
2ax^2 + b = 0 x^2 = a-b/2z

Xét dấu của đạo hàm y’ = 4ax^3 + 2bx và → chiều biến thiên hàm số.

Thứ 2: Tìm cực trị

Thứ 3: Tìm giới hạn tại vô cực (x → ±∞)

Thứ 4: Lập bảng biến thiên

Biểu diễn đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên có thể được mô tả như sau (trong đó có x, y’, y).

Đồ thị

Điểm giao của đồ thị & trục Oy: Khi x = 0, giải phương trình y = ax^4 + bx^2 + c, ta thu được giá trị y = c. Do đó, điểm giao này có tọa độ (0; c).

Điểm giao của đồ thị & trục Ox: Khi y = 0, giải phương trình ax^4 + bx^2 + c = 0 để tìm các giá trị của x. Điều này có thể dẫn đến các giải phương trình khác nhau tùy thuộc vào giá trị của a, b, và c. Đặt kết quả của phương trình là (?; 0).

Các điểm cực đại và cực tiểu nếu có: Để xác định các điểm cực đại (CĐ) và cực tiểu (CT), ta cần tìm các điểm nghiệm của đạo hàm bậc nhất (y’) và sử dụng đạo hàm hai lần (y”) để kiểm tra tính chất của các điểm này. Nếu y” > 0 tại một điểm nghiệm, điểm đó là cực tiểu, và nếu y” < 0, điểm đó là cực đại.

Ghi chú:

  • Để giải phương trình đồ thị hàm số bậc 4, quy trình tương tự như giải phương trình bậc 2 được áp dụng. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng chỉ nên chọn nghiệm không âm sau khi giải phương trình bậc 2, và sau đó tiến hành giải để xác định giá trị của biến độc lập x.
  • Thu thập thêm điểm (nếu cần): Sau khi có cái nhìn tổng quan về hình dạng của đồ thị, quá trình này nhằm bổ sung thông tin bằng cách chọn một số điểm khác trên đồ thị. Điều này được thực hiện sau khi học sinh đã có cái nhìn sơ bộ về đồ thị và quyết định lấy thêm điểm trên phía nào cần được chi tiết hơn. Quá trình này không nên làm tùy tiện, mà thay vào đó, học sinh cần xác định cẩn thận để tối ưu hóa thời gian và nâng cao hiểu biết về hình dạng chi tiết của đồ thị.

Các dạng đồ thị hàm số bậc 4
Các dạng đồ thị hàm số bậc 4

Ví dụ vẽ đồ thị hàm số bậc 4 cho phương trình:

Xét hàm số trùng phương y = x^4 + 3x^2 + 2.

Bước 1: Tập xác định

Hàm số trùng phương có dạng y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) nên tập xác định của hàm số là D = R.

Bước 2: Sự biến thiên

Đạo hàm của hàm số là y’ = 4x^3 + 6x

y’ = 0 ⇔ 4x^3 + 6x = 0 ⇔ x(4x^2 + 6) = 0

Ta có:

  • ⇔ x = 0
  • ⇔ x = 0
  • ⇔ …

2x^2 + 6 = 0
x^2 = -3/2

Vì x là số thực, nên x^2 không thể âm. Do đó, nghiệm của phương trình 2x^2 + 6 = 0 là x = 0.

Xét dấu của đạo hàm y’ = 4x^3 + 6x

  • x < 0: y’ < 0
  • x = 0: y’ = 0
  • x > 0: y’ > 0

Kết luận:

  • Hàm số đồng biến trên miền (-∞; 0]
  • Hàm số biến thiên nghịch trên miền (0; +∞)

Bước 3: Đồ thị

Điểm giao của đồ thị & trục Oy:

  • Khi x = 0, ta có y = 0^4 + 3 * 0^2 + 2 = 2

Do đó, điểm giao này có tọa độ (0; 2).

Điểm giao của đồ thị & trục Ox:

  • Khi y = 0, ta có x^4 + 3x^2 + 2 = 0

Giải phương trình này, ta được x = -√(3/2) hoặc x = √(3/2).

Do đó, điểm giao này có tọa độ (-√(3/2); 0) hoặc (√(3/2); 0).

Bước 4: Các điểm cực đại và cực tiểu:

Để xác định các điểm cực đại và cực tiểu, ta cần tìm các điểm nghiệm của đạo hàm bậc nhất (y’) và sử dụng đạo hàm hai lần (y”) để kiểm tra tính chất của các điểm này.

Trong trường hợp này, ta có y” = 12x

y” = 0 ⇔ x = 0

Vì x là số thực, nên x = 0 là điểm nghiệm duy nhất của phương trình y” = 0.

Để kiểm tra tính chất của điểm x = 0, ta tính y” tại điểm này:

y”(0) = 12 * 0 = 0

Vì y”(0) = 0, nên điểm x = 0 là điểm cực tiểu.

Bước 5: Lập bảng biến thiên

x y y’ y”
-infty 2 -infty -infty
-sqrt{3/2} -3/4 -infty 0
0 2 0 0
sqrt{3/2} 5/4 +infty 0
+infty 2 +infty +infty

Bước 6: Vẽ đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể vẽ đồ thị của hàm số như sau:

Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số

Kết luận

Đồ thị hàm số bậc 4 y = x^4 + 3x^2 + 2 là một đường cong mở, có hình dạng giống như một parabol, nhưng có một điểm cực tiểu (0; 2).

Như vậy, chúng ta đã cùng tìm hiểu về các tính chất của đồ thị hàm số bậc 4. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về dạng đồ thị này.